高中極限與微積分3

lssh10523

f(1)=f(2)=f(3)=0
所以有(x-1)(x-2)(x-3)因式
可令f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(ax^2+bx+c)
前面展開後f(x)=(x^3-6x^2+11x-6)(ax^2+bx+c)
f'(x)=...  (微前乘後+微後乘前)
再用f'(0) & f'(1) & f'(2) 三個條件解a=3/20 & b=-9/20 & c=3/10
整理後
f(x)=(3/20)*(x-1)(x-2)(x-3)*(x^2-3x+2)
=(3/20)[(x-1)^2]*[(x-2)^2]*(x-3)
f'(x)=不展開 直接微分 雖然式子長 但之後代入數字時會比較容易算
...

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lssh10523

相切...相切點(同時滿足線與三次函數) & 切線斜率
y=x  所以可假設相切點為(m,m) 且可知切線斜率=1

相切點同時滿足三次函數
m=m^3-3m^2+am.......(1)

三次函數於該點的切線斜率=該點的導數值=y'(m)
1=y'(m)=3m^2-6m+a.......(2)

從(2) 可知 a=-3m^2+6m+1
代入(1)得m=m^3-3m^2+m(-3m^2+6m+1)
整理後(m^2)(-2m+3)=0
m=0 或 m=3/2
所以a=1 或 a=13/4...

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